Page 198 - Τεχνολογία Παραγωγής ΙΙ

Κεφάλαιο 9: Η µέθοδος Πεπερασµένων Στοιχείων

Το ίδιο γίνεται και για τη συνάρτηση ελέγχου ν, όπου επιλέγεται µία
συνάρτηση που να την περιγράφει, ενώ θα πρέπει οι συναρτήσεις ελέγχου
και βάσης να είναι ορθογωνικές, δηλαδή:

N
ν ( ) =x ∑ d j g j
= j 1 (25)
και,

k i = j
N N 
∫
c φ
⋅ u ν = uν dx = ∫∑ i i ∑ d j g j =  (26)
= i 1 = j 1 
 0 i ≠ j

Μία ειδική περίπτωση είναι η χρήση της ίδιας συνάρτησης ως συνάρτησης
βάσης και ελέγχου. Η µέθοδος αυτή ονοµάζεται Galerkin. Εφαρµόζοντας
τα παραπάνω στην ασθενή µορφή του προβλήµατος, έχουµε:

L N dφ ( ) x N dφ ( ) x L N
∫∑ c j j ∑ i i dx = p 0 b φ j ( )dxx
∫ ∑
b
j
0 = j 1 dx = i 1 dx 0 = j 1 (27)
Μετατοπίζουµε τα αθροίσµατα:
N N L dφ ( ) dφ ( ) x N L
x
b ∑ c ∫ j i dx = ∑ b ∫ p φ ( )dxx
∑ i j j 0 j
= i 1 = j 1 0 dx dx = j 1 0 (28)
και απλοποιούµε, καταλήγοντας στην σχέση:

N L dφ ( ) dφ ( ) x L
x
∑ c j ∫ j i dx = p φ j ( )dxx
∫
0
= j 1 0 dx dx 0 (29)
Σε µορφή πινάκων η παραπάνω σχέση µπορεί να γραφεί:

[ ][ ] [ ]FCK = (30)

197