Page 196 - Τεχνολογία Παραγωγής ΙΙ

Κεφάλαιο 9: Η µέθοδος Πεπερασµένων Στοιχείων

d 2 u
EA = p 0
dx 2 (16)

όπου u είναι η άγνωστη µετατόπιση, p0 η καταπόνηση του αντικειµένου και
µε οριακές συνθήκες:

u ( ) 00 =

(17)
du
EA = 0
dx
x =L
Η σχέση (16) ονοµάζεται «αυστηρή διατύπωση» του προβλήµατος. Αυτή
µπορεί να γραφεί µε τη µορφή υπολοίπου:

d 2 u
− p 0 = R = 0
dx 2 (18)

όπου θα πρέπει να βρεθεί η άγνωστη συνάρτηση u, η οποία ελαχιστοποιεί
(µηδενίζει) το υπόλοιπο. Για να γίνει αυτό ορίζουµε την «συνάρτηση
ελέγχου» (ν) και εφαρµόζουµε το εσωτερικό γινόµενο της µε την (18).

 d 2 u  L  d 2 u 
 − p 0  ,  v =  ∫  − p 0  ⋅  vdx = 0

 dx 2  0  dx 2  (19)

Η συνάρτηση ελέγχου είναι µία συνάρτηση την οποία επιλέγουµε έτσι ώστε
να ικανοποιούνται από αυτήν οι οριακές συνθήκες. Η σχέση (19)
ονοµάζεται «ασθενής διατύπωση» του προβλήµατος.

Στη συνέχεια, εκτελούνται κάποιες µαθηµατικές απλοποιήσεις της (19),
δηλαδή:

L 2 L 2 L
 d u  d u
∫

∫ 2 − p 0  ⋅  vdx = 0 ⇒ ∫ 2 vdx = p 0 vdx
0  dx  0 dx 0 (20)

195