Page 190 - Τεχνολογία Παραγωγής ΙΙ

Κεφάλαιο 9: Η µέθοδος Πεπερασµένων Στοιχείων

• Μεγάλοι και αραιοί πίνακες (sparse matrices)
• ∆υσκολία στον προγραµµατισµό
• Επίλυση δυσκολότερων µαθηµατικών εκφράσεων σε σχέση µε τις
Πεπερασµένες ∆ιαφορές
• Απαιτείται η ύπαρξη ενός διακριτοποιητή (mesher) και µιας

ρουτίνας επίλυσης αραιών πινάκων
• ∆εν χειρίζεται σωστά γεωµετρίες που έχουν προσαρµοσµένες
οριακές συνθήκες παρά µόνο µε τη βοήθεια άλλων τεχνικών (π.χ.
τέλεια απορρόφηση)

9.2. Σύντοµη µαθηµατική περιγραφή

Για την περιγραφή ενός δισδιάστατου προβλήµατος,
χρησιµοποιείται η εξίσωσης Laplace:

∂ 2 φ ∂ 2 φ (6)
+ = 0
x ∂ 2 y ∂ 2

Με τη βοήθεια του λογισµού των µεταβολών και λαµβάνοντας υπόψη τις
οριακές συνθήκες, η επίλυση της παραπάνω εξίσωσης είναι ισοδύναµη µε
την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης:

∂ 2 φ ∂ 2 φ   ∂φ  2 ∂φ  2 
 φ
2
I ( )=< , φφ ∇ φ >= ∫∫  +  dxdy −= ∫∫   +     dxdy


S  x ∂ 2 y ∂ 2  S  ∂ x   y ∂   (7)


όπου,
<φ, g >= ∫∫ g φ ds
S
το εσωτερικό γινόµενο δύο συναρτήσεων.

189