Page 188 - Τεχνολογία Παραγωγής ΙΙ

Κεφάλαιο 9: Η µέθοδος Πεπερασµένων Στοιχείων

Η επίλυση των παραπάνω διαφορικών εξισώσεων είναι εφικτή όταν
εφαρµόζονται σε απλές γεωµετρικές µορφές. Στις περισσότερες
περιπτώσεις όµως αυτό είναι αδύνατο καθώς δεν το επιτρέπει η
πολυπλοκότητα της γεωµετρίας.

Η µέθοδος πεπερασµένων στοιχείων (Finite Element Method) είναι
µία µέθοδος διακριτοποίησης του χώρου επίλυσης. Σύµφωνα µε αυτήν ο
χώρος επίλυσης χωρίζεται σε µικρές υπο-περιοχές (στοιχεία) και
επιχειρείται ο προσδιορισµός κατάλληλων συναρτήσεων παρεµβολής που
εφαρµόζονται σε αυτές.

Στην πραγµατικότητα η µέθοδος πεπερασµένων στοιχείων
χρησιµοποιείται για την επίλυση µερικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης
τάξης. Αυτό γίνεται µετατρέποντας την διαφορική εξίσωση η οποία
εφαρµόζεται σε ολόκληρη τη γεωµετρία σε ένα µεγάλο άθροισµα
εξισώσεων οι οποίες εφαρµόζονται σε ένα µικρό– πεπερασµένο τµήµα της
γεωµετρίας.

Η σχέση η οποία περιγράφει το πρόβληµα µπορεί να γραφεί στη µορφή:

L ( ) + fφ = 0 (3)

και οι οριακές συνθήκες του προβλήµατος έχουν τη µορφή

B ( )+ gφ = 0 (4)

Οι παραπάνω εκφράσεις είναι γνωστές, αλλά είναι αδύνατη η επίλυση τους
σε όλο το πεδίο ορισµού τους (γεωµετρία). Ουσιαστικά, µε τη βοήθεια των
πεπερασµένων στοιχείων, η παραπάνω διαφορική εξίσωση µετατρέπεται σε
ένα σύστηµα απλούστερων εξισώσεων, η κάθε µία από τις οποίες ορίζεται
σε ένα µικρό-πεπερασµένο τµήµα της γεωµετρίας. Αυτές οι εξισώσεις,
παρόλο τον µεγάλο αριθµό τους, µπορούν να επιλυθούν αρκετά εύκολα.
Εδώ έγκειται η χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών, οι οποίοι καλούνται

187